1. Идея

Нужно найти минимальное число дорог, которое надо проехать от перекрестка s до перекрестка t в неориентированном графе.

Так как каждая дорога имеет одинаковую "стоимость" — один участок пути, задача сводится к поиску кратчайшего пути по числу ребер в невзвешенном графе.

Для таких задач стандартный и самый подходящий метод — BFS, то есть обход в ширину.

2. Наблюдения

1. Перекрестки — это вершины графа, дороги — ребра.
2. Все дороги равноправны: переход по любой дороге увеличивает длину пути ровно на 1.
3. BFS как раз умеет находить минимальное количество ребер от стартовой вершины до всех остальных.
4. Если в процессе BFS вершина t окажется достижимой, то найденное расстояние будет минимальным.
5. Если после обхода dist[t] осталось равным -1, значит пути не существует.

Также важно заметить частный случай:

• если s = t, то ответ сразу 0, потому что курьер уже находится в нужной точке.

В предложенном решении этот случай отдельно обрабатывать не нужно: BFS сам корректно даст dist[s] = 0.

3. Алгоритм

1. Считываем n, m, s, t.
2. Строим список смежности:
   • для каждой дороги u v добавляем v в список соседей u,
   • и u в список соседей v, так как граф неориентированный.
3. Создаем массив dist длины n + 1 и заполняем его значениями -1.
   • dist[v] будет хранить минимальное число дорог от s до вершины v.
4. Запускаем BFS из вершины s:
   • кладем s в очередь,
   • ставим dist[s] = 0.
5. Пока очередь не пуста:
   • берем вершину v из начала очереди,
   • перебираем всех соседей to,
   • если to еще не посещена, то:
     • присваиваем dist[to] = dist[v] + 1,
     • добавляем to в очередь.
6. После завершения BFS выводим dist[t].

4. Почему это работает

Обход в ширину посещает вершины слоями:

• сначала все вершины на расстоянии 0 от s, то есть саму вершину s;
• потом все вершины на расстоянии 1;
• потом все вершины на расстоянии 2;
• и так далее.

Когда BFS впервые приходит в некоторую вершину to, он делает это по кратчайшему пути по числу ребер. Почему так?

Потому что:

• все вершины с меньшим расстоянием уже были обработаны раньше;
• ребра имеют одинаковую цену 1;
• значит, первое найденное расстояние до вершины уже минимально.

Следовательно:

• dist[v] после BFS действительно равно минимальному количеству дорог от s до v;
• в частности, dist[t] — это искомый ответ.

Если же t так и не была посещена, то до нее нельзя добраться из s, поэтому нужно вывести -1.

5. Сложность

Обозначим:

• n — число перекрестков,
• m — число дорог.

Тогда:

• построение графа занимает O(m);
• BFS обходит каждую вершину не более одного раза и каждое ребро просматривает не более двух раз, поэтому работает за O(n + m).

Итоговая сложность:

• по времени: O(n + m);
• по памяти: O(n + m).

Это подходит для ограничений до 100000 вершин и 200000 ребер.

6. Код на C++17

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>

using namespace std;

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;

    vector<vector<int>> g(n + 1);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }

    vector<int> dist(n + 1, -1);
    queue<int> q;

    dist[s] = 0;
    q.push(s);

    while (!q.empty()) {
        int v = q.front();
        q.pop();

        for (int to : g[v]) {
            if (dist[to] == -1) {
                dist[to] = dist[v] + 1;
                q.push(to);
            }
        }
    }

    cout << dist[t] << '\n';
    return 0;
}

7. Код на Python 3

from collections import deque

n, m, s, t = map(int, input().split())

g = [[] for _ in range(n + 1)]
for _ in range(m):
    u, v = map(int, input().split())
    g[u].append(v)
    g[v].append(u)

dist = [-1] * (n + 1)
q = deque([s])
dist[s] = 0

while q:
    v = q.popleft()
    for to in g[v]:
        if dist[to] == -1:
            dist[to] = dist[v] + 1
            q.append(to)

print(dist[t])